Question

以下命題正確的是

（1）（2）（3）

（1）把函數y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

個單位得到y=3sin2x的圖象．
（2）若等差數列的前n項和為S_n則三點（(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共線
（3）若f（x）=cos⁴x-sin⁴x則f′(

π

12

)=-1
（4）若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d則“a+b+c=0”是f（x）有極值點的充要條件．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的平移變換規律（左加右減）即可判斷其正誤；
（2）等差數列中

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

，由此可判斷三點（(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共線；
（3）f（x）=cos⁴x-sin⁴x=cos2x，f′（x）=-2sin2x，從而可判斷其正誤；
（4）f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值⇒f′（x）=3ax²+2bx+c=0有解，不能推出a+b+c=0，從而可否定（4）．

解答：解：（1）y=3sin（2x+

π

3

）

圖象向右平移 π 6 個單位

y=3sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x，故（1）正確；
（2）∵{a_n}為等差數列，設其公差為d，依題意得，

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

，即

Sn

n

為n的線性函數，故（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）三點共線，故（2）正確；
（3）∵f（x）=cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x=cos2x，
∴f′（x）=-2sin2x，
∴f′（

π

12

）=-2sin（2×

π

12

）=-1，故（3）正確；
對于（4），f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值⇒f′（x）=3ax²+2bx+c=0有解，不能推出a+b+c=0，故（4）錯誤．
故命題正確的是（1），（2），（3）．
故答案為：（1），（2），（3）．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查等差數列的性質，命題的真假判斷與應用，考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷及導數的運算與應用，綜合性強，屬于中檔題．