Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．

（Ⅰ）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直線BE上是否存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點(diǎn)M的位置，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AB,AD,AE所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則,,
做BD的中點(diǎn)F并連接CF，AF；由題意可得CF⊥BD且
又 ，所以C的坐標(biāo)為
，
  
故DE⊥AC                                                    　　　 ………4分
（Ⅱ）設(shè)平面BCE的法向量為則
  即
令x=1得   又                       　　 ………6分
設(shè)平面DE與平面BCE所成角為，則
.                           　………8分
(III)假設(shè)存在點(diǎn)M使得CM∥面ADE，則
, 得    　………10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0e/8/1w2da4.gif" style="vertical-align:middle;" />， 所以
因?yàn)镃M∥面ADE，則即
得
故 點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)時(shí)CM∥面ADE.                                  　 ………12分

解析