Question

2012年“雙節”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70）[70，75）[80，85）[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）某調查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數的估計值．
（3）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）這個抽樣是按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數比較多，這是一個系統抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數據的平均數．
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數和車速在[65，70）的車輛數．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，列出各自的基本事件數，從而求出相應的概率即可．
解答：解：（1）由題意知這個抽樣是按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數比較多，這是一個系統抽樣．
故調查公司在采樣中，用到的是系統抽樣，（2分）
（2）眾數的估計值為最高的矩形的中點，即眾數的估計值等于77.5    （4分）
設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，即中位數的估計值為77.5                （6分）
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數為：m₁=0.01×5×40=2（輛），（7分）
車速在[65，70）的車輛數為：m₂=0.02×5×40=4（輛）      （8分）
設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，
則所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15種   （10分）
其中車速在[65，70）的車輛至少有一輛的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14種   （12分）
所以，車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率為．（13分）
點評：解決頻率分布直方圖的有關特征數問題，利用眾數是最高矩形的底邊中點；中位數是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和．此題把統計和概率結合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．