Question

已知數列{a_n}是各項均不為0的等差數列，S_n為其前n項和，且滿足a_n²=S_2n-1，令，數列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式及數列{b_n}的前n項和為T_n；
（2）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把等差數列的求和公式代入a_n²=S_2n-1整理后可求得a_n，代入利用裂項法求得T_n．
（2）根據（1）中求得T_n分別表示出T₁，T_m，T_n根據等比中項的性質建立等式，化簡整理即可求得m的范圍，進而根據m和n均為正整數求得m，進而n
解答：解：（1）因為{a_n}是等差數列，
由，
又因為a_n≠0，所以a_n=2n-1，
由，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
若T₁，T_m，T_n成等比數列，則，
即．
由，
可得，
所以-2m²+4m+1＞0，
從而：，又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此時n=12．
故可知：當且僅當m=2，n=12使數列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比數列．
點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的性質．考查了學生綜合分析問題和實際運算能力．