Question

若一個數列各項取倒數后按原來的順序構成等差數列，則稱這個數列為調和數列．已知數列{a_n}是調和數列，對于各項都是正數的數列{x_n}，滿足（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數列{x_n}是等比數列；
（Ⅱ）把數列{x_n}中所有項按如圖所示的規律排成一個三角形數表，當x₃=8，x₇=128時，求第m行各數的和；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列{x_n}，證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因為，且數列{x_n}中各項都是正數，
所以a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
設a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，①
因為數列{a_n}是調和數列，故a_n≠0，．
所以，．②
由①得，代入②式得，
所以2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，即lgx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
故x_n+1²=x_nx_n+2，所以數列{x_n}是等比數列．（5分）
（Ⅱ）設{x_n}的公比為q，則x₃q⁴=x₇，即8q⁴=128．由于x_n＞0，故q=2．
于是x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．
注意到第n（n=1，2，3，）行共有n個數，
所以三角形數表中第1行至第m-1行共含有個數．
因此第m行第1個數是數列{x_n}中的第項．
故第m行第1個數是，
所以第m行各數的和為．（9分）
（Ⅲ）因為x_n=2ⁿ，所以．
所以．
又=（k=1，2，3，，n），
所以
=．
所以．（14分）
分析：（Ⅰ）由題設條件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．設a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有，由此導出x_n+1²=x_nx_n+2，所以數列{x_n}是等比數列．
（Ⅱ）由題意知{x_n}的公比為q=2．x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．由此能夠推導出第m行各數的和為．
（Ⅲ）由x_n=2ⁿ，知．所以．
由此入手能夠導出．
點評：本題考查數列知識的綜合運用，難度較大，解題時要注意挖掘隱含條件，靈活運用公式．