如圖，
為半圓，
為半圓直徑，
為半圓圓心，且
，
為線段
的中點，已知
，曲線
過點，動點
在曲線上運動且保持
的值不變.
(I)建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；
(II)過點
的直線
與曲線交于
兩點，與所在直線交于
點，
，
證明：
為定值.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）根據題意建立適當的坐標系，以為坐標原點，因為的值不變，所以會想到橢圓的定義，根據橢圓的定義，需要知道的值，易知
，故橢圓的基本量就能很快求出，從而求出最終橢圓的標準方程.（2）圓錐曲線與向量的綜合，最好使用點的坐標表示，可以根據題意設出
的坐標，利用，的關系，反求出（含
）的坐標代入到橢圓方程中，得到
，
，可見
是方程
的兩個根，故.還可以利用聯立方程組的方法，但稍微復雜一點，具體過程見解答.
試題解析：（1）以為原點，
所在直線分別為
軸，
軸，建立平面直角坐標系.
因為動點在曲線上運動且保持的值不變，而點也在曲線上，
所以
，滿足橢圓的定義，
故曲線是以原點為中心，
為焦點的橢圓.
則
，
，
所以曲線的標準方程為
（2）
解法一：設而不求法
設的坐標分別為
，則
，
帶入到得
化簡，得
同理由，得
是方程的兩個根
解法二：聯立方程組法
設點的坐標分別為
，
易知點的坐標為
．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．
顯然直線 的斜率存在，設直線 的斜率為 
，則直線 的方程是 
將直線 的方程代入到橢圓 的方程中，消去 并整理得
．
∴
，
又 ∵
， 則
．∴
，
同理，由
，∴
∴
.
考點：1.圓錐曲線的定義，標準方程的求解；2.向量與圓錐曲線的綜合性問題.
小學生10分鐘口算測試100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓C經過點
，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點
的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為
時，求直線m的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
是橢圓
的右焦點，圓
與
軸交于
兩點，
是橢圓
與圓
的一個交點，且
.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點與圓相切的直線
與的另一交點為
，且
的面積等于
，求橢圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標平面內，y軸右側的一動點P到點
的距離比它到
軸的距離大
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設
為曲線上的一個動點，點
，在軸上，若
為圓
的外切三角形，求面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,已知曲線
,曲線
,P是平面上一點,若存在過點P的直線與
都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.
(1)在正確證明
的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線
與
有公共點,求證
,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓
內的點都不是“C1—C2型點”.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的右焦點為
，離心率為
．分別過
，
的兩條弦
，
相交于點
（異于
，
兩點），且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線
，
的斜率之和為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中,已知
,直線
, 動點
到
的距離是它到定直線
距離的
倍. 設動點的軌跡曲線為
.
（1）求曲線的軌跡方程.
（2）設點
, 若直線
為曲線的任意一條切線,且點、
到的距離分別為
,試判斷
是否為常數,請說明理由.
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，過
軸上一點
的直線與拋物線交于點
兩點。
為常數，并確定
：
的右焦點
在圓
上，直線
交橢圓于
、
兩點.
(
為坐標原點)，求
的值；