Question

【題目】設函數f（x）= ，g（x）=lnx+ （a＞0）．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）若x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= = ，

令f′（x）=0，解得x=0，2．

列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

可知：當x=0時，函數f（x）取得極小值，f（0）=0．當x=2時，函數f（x）取得極大值，f（2）=

（2）解：x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立，[g（x）]min≤[f（x）]max，x∈（0，+∞）．

由（1）可得：[f（x）]max=f（2）= ．

g′（x）= ﹣ = （x＞0，a＞0）．

可知：當x=a時，函數g（x）取得極小值即最小值，

∴g（a）=lna+1≤ ．

∴0＜a≤ ．

因此a的取值范圍是

【解析】（1）f′（x）= ，令f′（x）=0，解得x=0，2．列表如下，即可得出極值．（2）x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立[g（x）]min≤[f（x）]max，x∈（0，+∞）．由（1）可得：[f（x）]max=f（2）= ．再利用導數研究函數g（x）的單調性即可得出極小值即最小值．
【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．