Question

已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|2≤x≤4}
（1）請定義一種新的集合運算△，使A△B={x|1＜x＜2}；
（2）按（1）定義的運算，分別求出集合A△（A△B）和B△（B△A）．
（3）你可以得到怎樣的結論，請用如右文氏圖解釋你的結論．

Answer 1

分析：（1）直接根據集合{x|1＜x＜2}中的元素的特點可知A△B中的元素都在A中但不在B中；即可得到定義；
（2）直接根據上述定義解題即可得到結論；
（3）根據定義求出的第二問的結果可以直接得到A△（A△B）=B△（B△A）；再結合圖形即可得到答案．

解答：解：（1）∵A={x|1＜x＜3}，B={x|2≤x≤4}要使A△B={x|1＜x＜2}，
由圖可知A△B中的元素都在A中但不在B中，∴定義A△B={x|x∈A且x∉B}．
（2）由（1）可知B△A={x|x∈B且x∉A}={x|3≤x≤4}．
A△（A△B）={x|x∈A且x∉（A△B）}={x|2≤x＜3}．
B△（B△A）={x|x∈B且x∉（B△A）}={x|2≤x＜3}．
（3）猜想結論：A△（A△B）=B△（B△A）
根據右圖作如下解釋：A△B為圖中陰影部分所以A△（A△B）=A∩B
同理B△（B△A）=A∩B，
∴A△（A△B）=B△（B△A）

點評：本題主要在新定義下考查Venn圖表達集合的關系及運算．解決本題的關鍵在于得到新定義．