Question

【題目】如果數列，，，（，且），滿足：①，；

②，那么稱數列為“”數列．

（）已知數列，，，；數列，，，，．試判斷數列，是否為“”數列．

（）是否存在一個等差數列是“”數列？請證明你的結論．

（）如果數列是“”數列，求證：數列中必定存在若干項之和為．

Answer 1

【答案】（）數列不是“”數列，數列是“”數列；（）不存在等差數列是“”數列；（）證明見解析．

【解析】分析：（1）根據定義直接判斷即可得解；（2）假設存在等差數列是“”數列，由，得，與矛盾，從而可證不存在等差數列為“”數列；（3）將數列按以下方法重新排列：設為重新排列后所得數列的前項和（且），任取大于0的一項作為第一項，則滿足，然后利用反證法，證明即可.

詳解：（）由題目是定義可直接判斷出，數列不符合數列要求，數列是“”數列．

（）不存在一個等差數列是“”數列，

證明：假設存在等差數列是“”數列，

則由，得與矛盾，

說明假設不成立，即不存在等差數列是“”數列．

（）將數列按以下方法重新排列：

設為重新排列后所得數列的前項和（，且），

任取大于的一項作為第一項，則滿足，

假設當時，，

若，則任取大于的一項作為第項，可保證，

若，則剩下的項必有或與異號的一項，否則總和不是，

∴取或與異號的一項作為第項，可保證，

如果按上述排列后存在成立，那么命題得證，

否則，， 這個整數只能取區間內的非整數，

∵區間內的非整數至多個，

∴一定存在，

那么從第項到第項之和為，命題得證，

綜上所述，數列中一定存在若干項之和為，證畢．