Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD． （Ⅰ）求證：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在線段EF上是否存在一點P，使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為 ．若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，
∴故 AB=2，
∴BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos60°=3，
∴AB2=AD2+BD2
∴BD⊥AD，
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，
∴AD⊥平面BFED．
（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，
以D為原點，分別以DA，DE，DE為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（0， ，0），P（0，λ， ），
=（﹣1， ，0）， = ．

取平面EAD的一個法向量為 =（0，1，0），
設平面PAB的一個法向量為 =（x，y，z），
由 =0， =0得： ，取y=1，可得 =（ ）．
∵二面角A﹣PD﹣C為銳二面角，平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為 ．
∴cos＜ = = = ，
解得λ= ，即P為線段EF的3等分點靠近點E的位置
【解析】（Ⅰ）推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2 ， 證明BD⊥AD，然后證明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）以D為原點，分別以DA，DE，DE為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面EAD的一個法向量，平面PAB的一個法向量，利用向量的數量積，轉化求解即可．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．