Question

在數列{a_n}中，a1=1，an+1=3an+3n．
（Ⅰ）設bn=

an

3n-1

，證明：數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{

an

n

}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可求得b_n+1=b_n+1，由等差數列的定義即可得證數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）可求得

an

n

=3^n-1，利用等比數列的求和公式即可求得數列{

an

n

}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知a_n+1=3a_n+3ⁿ得：
b_n+1=

an+1

3n

=

3an+3n

3n

=

an

3n-1

+1
=b_n+1，
又b₁=a₁=1，因此{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列…（6分）
（Ⅱ）由（1）得

an

3n-1

=n，
∴

an

n

=3^n-1，…（8分）
∴S_n=1+3¹+3²+…+3^n-1=

1×(1-3n)

1-3

=

3n-1

2

…（12分）

點評：本題考查等差數列的證明，考查等比數列的求和，考查推理與運算能力，屬于中檔題．