Question

已知的定義域為R，函數的定義域為[0，2]．
（1）設a≠0，求f（x）的單調區間；
（2）求g（x）的值域；
（3）設a＞0，若對任意x₁∈[0，2]，總存在x∈[0，2]，使g（x₁）-f（x）=0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其導函數，再根據導函數值的正負來求單調區間即可；
（2）先求出x=0時，g（x）=0；再結合基本不得呢公式求出其他部分的值域，最后綜合即可．
（3）先把問題轉化為[0，]⊆A，即轉化為求函數f（x）的值域，求出其導函數，結合其單調區間求出最值，即可得到結論．
解答：解：（1）∵f'（x）=ax²-a²，
當a＞0時，增區間為（-∞，-）和（，+∞），減區間為（-，）；
當a＜0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在實數集上單調遞減．
（2）g（x）=，x∈[0，2]，x=0時，g（x）=0．
0＜x≤2時，g（x）=•≤•=•=，且g（x）＞0，
當且僅當x=1時上式取等號，即0＜g（x）≤．
綜上，g（x）的值域為[0，]．
（3）設函數f（x）在[0，2]上的值域是A，
若對任意x₁∈[0，2]，總存在x∈[0，2]使g（x₁）-f（x）=0，
∴[0，]⊆A
當a＞0由f'（x）=ax²-a²=a（x-）（x+）
令f'（x）=0得x=或x=-（舍去）．
0＜＜2時，x，f'（x），f（x）的變化如表，

∴f（0）=0，f（）＜0，
∴f（2）=a-2a²≥解得≤a≤1．
當≥2時，f'（x）＜0，
∴函數f（x）在（0，2）上單調遞減．
∴f（0）=0，f（2）=a-2a²＜0，
∴當x∈[0，2]時，不滿足[0，]⊆A．
綜上可知，實數a的取值范圍是[，1]．
點評：本題主要考查基本不等式的應用以及利用導函數求函數的最值以及單調區間．在利用基本不等式解題時，一定要注意基本不等式使用的條件：一正，二定，三相等．