Question

設t≠0，點P(t，0)是函數f(x)＝x³＋ax與g(x)＝bx²＋c的圖像的一個公共點，兩函數的圖像在點P處有相同的切線．

(1)用t表示a、b、c；

(2)若函數y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上單調遞減，求t的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為函數f(x)、g(x)的圖像都過點(t，0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0．因為t≠0，所以a＝－t2．g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab．又因為f(x)、g(x)在點(t，0)處有相同的切線，所以(t)＝(t)．而(x)＝3x2＋a，(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt．將a＝－t2代入上式，得b＝t．因此c＝ab＝－t3．故a＝－t2，b＝t，c＝－t3， 　　(2)y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)．當＝(3x＋t)(x－t)＜0時，函數y＝f(x)－g(x)單調遞減．由＜0，若t＞0，則＜x＜t；若t＜0，則t＜x＜．由題意，函數y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上單調遞減，則(－1，3)(，t)或(－1，3)(t，)．所以t≤－9或t≥3．所以t的取值范圍為(－∞，－9]∪[3，＋∞)． 　　解析：(1)把點P坐標分別代入f(x)、g(x)可得兩個方程，再由(t)＝(t)組成關于a、b、c的方程組，用t表示a、b、c，(2)利用(1)的結果表示y，根據在(－1，3)上＜0恒成立，討論t的范圍．