Question

已知橢圓點，離心率為，左右焦點分別為
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于兩點，與以為直徑的圓交于兩點，且滿足，求直線的方程.

Answer 1

（1）＋＝1（2）y＝－x＋或y＝－x－.

解析試題分析：（1）由題意可得=，=，結合，解出即可即可得到橢圓方程．
（2）由題意可得以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1．利用點到直線的距離公式可得：圓心到直線的距離d及d＜1，可得m的取值范圍．利用弦長公式可得|CD|=2．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程與橢圓的方程聯立消去化為關于的一元二次方程，根據是對應方程的兩根，所根據根與系數的關系，將與用表示出來，利用弦長|AB|=將弦長|AB|用m表示出來，列出關于m的方程，解出m，求得出直線的方程.
試題解析： (1)由題設知，解得
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)由題設，以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²＋y²＝1，
∴圓心(0，0)到直線l的距離d＝.
由d<1，得|m|<，(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由，得x²－mx＋m²－3＝0，
由根與系數的關系得x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝m²－3，
∴|AB|＝＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，滿足(*)．
∴直線l的方程為y＝－x＋或y＝－x－.
考點：橢圓的標準方程與性質，直線與橢圓的位置關系，圓的方程，直線與圓的位置關系，運算求解能力