Question

【題目】如圖，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分別是棱B1C1，BB1，C1D1的中點，是否存在過點E，M且與平面A1FC平行的平面？若存在，請作出并證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析: 由正方體的特征及N為BB1的中點，可知平面A1FC與直線DD1相交，且交點為DD1的中點G.若過M，E的平面α與平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，則平面α必與CC1相交于點N，結合M，E為棱C1D1，B1C1的中點，易知C1N∶C1C＝.于是平面EMN滿足要求．

試題解析:

如圖，設N是棱C1C上的一點，且C1N＝C1C時，平面EMN過點E，M且與平面A1FC平行．

證明如下：設H為棱C1C的中點，連接B1H，D1H.

∵C1N＝C1C，

∴C1N＝C1H.

又E為B1C1的中點，

∴EN∥B1H.

又CF∥B1H，

∴EN∥CF.

又EN平面A1FC，CF平面A1FC，

∴EN∥平面A1FC.

同理MN∥D1H，D1H∥A1F，

∴MN∥A1F.

又MN平面A1FC，A1F平面A1FC，

∴MN∥平面A1FC.

又EN∩MN＝N，

∴平面EMN∥平面A1FC.

點睛:本題考查線面平行的判定定理和面面平行的判定定理的綜合應用,屬于中檔題.直線和平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行; 平面與平面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面分別平行，則這兩個平面平行．