Question

設橢圓C：的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，若點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），由知F₁為BF₂的中點，由AB⊥AF₂，知Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF₂的外接圓圓心為（-，0），半徑r=a，所以，由此能求出橢圓方程．
（Ⅲ）由F₂（1，0），l：y=k（x-1），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此能求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）
∵知F₁為BF₂的中點，
AB⊥AF₂
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²，
又a²=b²+c²
∴a=2c
故橢圓的離心率…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，
于是，，
Rt△ABF₂的外接圓圓心為（-，0），半徑r=a，
所以，解得a=2，
∴c=1，，
所求橢圓方程為…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
則，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）…（8分）

由于菱形對角線垂直，
則
故x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）=0
即x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂-2）=0，
…（10分）
由已知條件知k≠0，
∴
∴故m的取值范圍是．…（12分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．