Question

已知圓O：x²+y²=4和點M（1，a），
（1）若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求實數a的值，并求出切線方程；
（2）若，過點M的圓的兩條弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是圓的切線方程，即直線與圓方程的應用．（1）要求過點M的切線方程，關鍵是求出切點坐標，由M點也在圓上，故滿足圓的方程，則易求M點坐標，然后代入圓的切線方程，整理即可得到答案．（2）由于直線AC、BD均過M點，故可以考慮設兩個直線的方程為點斜式方程，但由于點斜式方程不能表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長公式，及基本不等式進行求解．
解答：解：（1）由條件知點M在圓O上，
∴1+a²=4
∴a=±
當a=時，點M為（1，），k_OM=，
此時切線方程為：y-=-（x-1）
即：x+y-4=0
當a=-時，點M為（1，-），k_OM=-，
此時切線方程為：y+=（x-1）
即：x-y-4=0
∴所求的切線方程為：x+y-4=0或即：x-y-4=0
（2）當AC的斜率為0或不存在時，可求得AC+BD=2（+）
當AC的斜率存在且不為0時，
設直線AC的方程為y-=k（x-1），
直線BD的方程為y-=（x-1），
由弦長公式l=2
可得：AC=2
BD=2
∵AC²+BD²=4（+）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2
即AC+BD的最大值為2
點評：求過一定點的圓的切線方程，首先必須判斷這點是否在圓上．若在圓上，則該點為切點，若點P（x，y）在圓（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，則 過點P的切線方程為（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r²（r＞0）；若在圓外，切線應有兩條．一般用“圓心到切線的距離等于半徑長”來解較為簡單．若求出的斜率只有一個，應找出過這一點與x軸垂直的另一條切線．