Question

設F₁（-c，0），F₂（c，0）是橢圓+=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P是以|F₁F₂|為直徑的圓與橢圓的一個交點，且∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，則該橢圓的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據題意和圓的性質可判斷出△PF₁F₂為直角三角形，根據∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，推斷出∠PF₁F₂=75°，進而可求得PF₁和PF₂，利用橢圓的定義求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．
解答：解：由題意△PF₁F₂為直角三角形，且∠P=90°，∠PF₁F₂=75°，F₁F₂=2c，
∴|PF₁|=2ccos75°，|PF₂|=2ccos15°，
由橢圓的定義知，|PF₁|+|PF₂|=2c（cos75°+cos15°）=2c=c=2a，
∴離心率為e===．
故答案為：
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．