Question

設F₁（-c，0），F₂（c，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P是以|F₁F₂|為直徑的圓與橢圓的一個交點，且∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，則該橢圓的離心率為

6

3

．

Answer 1

分析：先根據題意和圓的性質可判斷出△PF₁F₂為直角三角形，根據∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，推斷出∠PF₁F₂=75°，進而可求得PF₁和PF₂，利用橢圓的定義求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．

解答：解：由題意△PF₁F₂為直角三角形，且∠P=90°，∠PF₁F₂=75°，F₁F₂=2c，
∴|PF₁|=2ccos75°，|PF₂|=2ccos15°，
由橢圓的定義知，|PF₁|+|PF₂|=2c（cos75°+cos15°）=2c

(sin15°+cos15°)2

=

6

c=2a，
∴離心率為e=

c

a

=

c

6 2 c

=

6

3

．
故答案為：

6

3

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．