Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）是否存在常數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用條件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程組，求f（x）的解析式
（Ⅱ）利用二次函數的單調性和值域之間的關系建立，方程關系．
解答：解：（Ⅰ）由題設，方程f （x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=0⇒b=1．（2分）
又f （2）=0，
∴4a+2b=0，∴a=-．（4分）
故f （x）=-x²+x．（5分）
（Ⅱ）∵f （x）=-x²+x=-（x-1）²+≤，
∴2n≤，即 n≤．（8分）
而當n≤時，f （x）在[m，n]上為增函數，
設滿足條件的m，n存在，則即，
又m＜n≤，由上可解得 m=-4，n=0．
即符合條件的m，n存在，其值為m=-4，n=0．（13分）
點評：本題主要考查利用待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數的圖象和性質，要求熟練掌握二次函數的圖象和性質的應用．