Question

（2009•楊浦區一模）（理）已知函數f(x)=2sinωxcosωx-2

3

cos2ωx+1+

3

(x∈R，ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）的單調增區間；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求三角函數的周期要先對函數的解析式進行化簡，再由公式T=

2π

ω

建立方程求出參數的值；
（2）由（1）f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，令其相位滿足2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x的取值范圍，即可得到所求的單調增區間；
（3）先解出函數f（x）在區間[

π

4

，

π

2

]上的最值，由絕對值不等式的性質轉化出關于m的不等式，解出其范圍即可

解答：解：（理）（1）f(x)=-2

3

(

1+cos2ωx

2

)+sin2ωx+1+

3

----（2分）
=sin2ωx-

3

cos2ωx+1=2sin(2ωx-

π

3

)+1-------（3分）
由題設可得，

2π

2ω

=π，所以ω=1．---------------------------（4分）
（2）由（1）得 f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，由題意
則有 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）------------（7分）
即  kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）
故 單調增區間為[ ，（k∈Z）----（10分）
（3）∵f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)．又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，------------------------------------------（11分）
即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，----------------------------------（13分）
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]，---------------------（14分）
∴m＞f（x）_max-2，m＜f（x）_min+2，∴1＜m＜4，
即m的取值范圍是（1，4）．---------------------------------------（16分）

點評：本題以三角函數為背景考查函數恒成立的問題，函數恒成立的問題是函數中一類難度較高的題型，解答此類題關鍵是對問題正確轉化，此類題一般是求參數范圍的題，將恒成立的關系轉化為參數所滿足的不等式或方程是常規思路，本題考查了轉化的思想，方程的思想，變形的能力，推理論證的能力，綜合性較強