Question

（本小題滿分12分）

設橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，AF＝2FB.

（I）求橢圓C的離心率；

（II）如果|AB|＝，求橢圓C的方程.

 

Answer 1

【答案】

（I）e＝＝.

（II）橢圓C的方程為 ＋＝1

【解析】解：設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由題意知y₁＞0，y₂＜0 .

（I）直線l的方程為 y＝(x＋c)，其中c＝，

聯立得，(3a²＋b²)y²－2b²cy－3b⁴＝0，

解得 y₁＝，y₂＝ .

因為AF＝2FB，所以－y₁＝2y₂，即 ＝2·，

得離心率e＝＝.

（II）因為|AB|＝|y₂－y₁|，所以 ·＝.

由＝得b＝a，所以 a＝，得a＝3，b＝ .

所以橢圓C的方程為 ＋＝1 .