Question

已知一個四棱錐P-ABCD的三視圖（正視圖與側視圖為直角三角形，俯視圖是帶有一條對角形的正方形）如下，E是側棱PC上的動點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）是否不論點E在何位置都有BD⊥AE，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三視圖可知PC⊥面ABCD，從而得到四棱錐P-ABCD的高為PC，底面ABCD是正方形，然后根據四棱錐P-ABCD的體積公式進行求解即可．
（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，可證明BD⊥面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與面PAC內兩相交直線垂直，連接AC，則AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C點，滿足定理所需條件，而E是PC上的動點，所以AE在平面PAC內，從而得到結論．
解答：解：（1）由三視圖可知，PC⊥面ABCD，且PC=2，
底面ABCD是正方形，故體積；（6分）
（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，理由如下：（8分）
連接AC，則AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C點，故BD⊥面PAC，
因為E是PC上的動點，所以AE在平面PAC內，所以BD⊥AE不論E在何位置都正確．（12分）
點評：本題主要考查了三視圖與立體圖形的轉化，以及體積的求解和直線與平面垂直的性質，同時考查了轉化與劃歸的數學思想、計算與推理能力，屬于基礎題．