Question

【題目】若點是函數的圖象上任意兩，且函數在點A和點B處的切線互相垂直，則下列結論正確的是（ ）

A.B.C.最大值為eD.最大值為e

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據,分三種情況討論: ,或.對函數求導,由導數的幾何意義及函數在點A和點B處的切線互相垂直,即可得的關系,進而判斷選項即可.

因為,點

所以

因為在點A和點B處的切線互相垂直

由導數幾何意義可知, 在點A和點B處的切線的斜率之積為

當時,滿足,即

因為,所以方程無解.即不存在時使得在點A和點B處的切線互相垂直

當時,滿足,即.因為,所以

所以,所以A、B錯誤;

對于C,可知,令,

所以

令,得

所以當時, ,則在時單調遞減

所以在時取得極小值,即最小值為,無最大值,所以C錯誤;

對于D,可知

令,

則

令,解得

所以當時, ,則在時單調遞減

當時, ,則在時單調遞增

所以在時取得極小值,即最小值為.

當時取得最大值, ,所以D正確.

當時,滿足,即

此方程無解,所以不成立.

綜上可知,D為正確選項.

故選:D