Question

在三角形ABC所在平面內有一點H滿足

HA

2+

BC

2=

HB

2+

CA

2=

HC

2+

AB

2，則H點是三角形ABC的

垂心

．

Answer 1

分析：根據向量的減法分別用

HA

，

HB

，

HC

表示

BC

，

CA

，

AB

，利用數量積運算和題意代入式子進行化簡，證出HC⊥AB，同理可得HB⊥AC，HA⊥BC，即證出H是△ABC的垂心．

解答：解：設

HA

=

a

，

HB

=

b

，

HC

=

c

，則

BC

=

c

-

b

，

CA

=

a

-

c

，

AB

=

b

- 

a

．
由題可知，|

HA

|2+|

BC

|2=|

HB

|2+|

CA

|2=|

HC

|2+|

AB

|2，
∴|

a

|²+|

c

-

b

|²=|

b

|²+|

a

-

c

|²，化簡可得

c

•

b

=

a

•

c

，即（

b

-

a

）•

c

=0，
∴

HC

•

AB

=0，∴

AB

⊥

HC

，即HC⊥AB．
同理可得HB⊥AC，HA⊥BC．
∴H是△ABC的垂心．
故答案為：垂心．

點評：本題考查了向量在幾何中應用，主要利用向量的線性運算以及數量積進行化簡證明，特別證明垂直主要根據題意構造向量利用數量積為零進行證明．