Question

設函數f（x）=x-

ln(1+x)

1+x

（1）令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），判斷并證明N（x）在（-1，+∞）上的單調性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定義域上的最小值；
（3）是否存在實數m，n滿足0≤m＜n，使得f（x）在區間[m，n]上的值域也為[m，n]？
（參考公式：[ln（1+x）′]=

1

1+x

）

Answer 1

分析：（1）先對函數求導，由導函數在x＞-1時的符號判斷函數的單調性，代入求N（0）的值，
（2）直接求定義域，利用f（x）單調性求解函數f（x）的最小值、值域，
（3）假設存在符合條件的m，n則有

f(m)=m f(n)=n

，推導可判斷m，n是否存在．

解答：解：（1）當x＞-1時，N^′（x）=2x+2+

1

1+x

＞0（2分）
所以，N（x）在（-1，+∞）上是單調遞增，N（0）=0（4分）
（2）f（x）的定義域是（-1，+∞）
f′(x)=1-

1-ln(x+1)

(1+x)2

=

N(x)

(1+x)2

當-1＜x＜0時，N（x）＜0，所以，f^′（x）＜0，
當x＞0時，N（x）＞0，所以，f^′（x）＞0，（8分）
所以，在（-1，0）上f（x）單調遞減，在（0，+∞）上，f（x）單調遞增，
所以，f_min=f（0）=0（10分）
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上是單調遞增函數，
若存在m，n滿足條件，則必有f（m）=m，f（n）=n，（11分）
也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有兩個不等的實根m，n，
但方程f（x）=x，即

ln(x+1)

(x+1)

=0只有一個實根x=0，
所以，不存在滿足條件的實數m，n．（14分）

點評：本題考查了利用導數判斷函數的單調性及求函數的最值問題，要注意分類討論思想在解題中的運用．