Question

（2008•深圳一模）設數列{a_n}的前n項和為S_n，其中a_n≠0，a₁為常數，且-a₁、S_n、a_n+1成等差數列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=1-S_n，問：是否存在a₁，使數列{b_n}為等比數列？若存在，求出a₁的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據-a₁、S_n、a_n+1成等差數列得到2S_n=a_n+1-a₁；再結合前n項和與通項之間的關系整理即可得a_n+1=3a_n（n≥2）；得到數列{a_n}是首項為a₁、公比為3的等比數列即可求出{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先求出數列{b_n}的通項公式；結合其通項公式即可求出對應的a₁的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得2S_n=a_n+1-a₁．于是，當n≥2時，有

2Sn=an+1-a1 2Sn-1=an-a1

．
兩式相減，得a_n+1=3a_n（n≥2）．
又因為a₂=2S₁+a₁=3a₁，a_n≠0，所以數列{a_n}是首項為a₁、公比為3的等比數列．
因此，a_n=a₁•3^n-1（n∈N^*）；
（Ⅱ）因為Sn=

a1(1-3n)

1-3

=

1

2

a1•3n-

1

2

a1，
所以bn=1-Sn=1+

1

2

a1-

1

2

a1•3n．
要使{b_n}為等比數列，當且僅當1+

1

2

a1=0，即a₁=-2．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的綜合問題．其中第一問涉及到了已知前n項和如何求通項問題．