Question

如圖所示，直線l過點P（6，2），且和x軸，y軸正方向分別交于A，B兩點，求直線l在兩坐標軸上截距之和S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：由題意可設直線l的方程為 y-2=k（x-6）（k＜0），令x，y分別為0可得截距，可得S的表達式，由基本不等式可得最值和k值，可得直線的方程．

解答：解：由題意可知直線l的斜率存在且小于零，
故可設直線l的方程為 y-2=k（x-6）（k＜0）
令x=0，則y=2-6k，令y=0，則x=6-

2

k

∴A(6-

2

k

，0)，B(0，2-6k)，
由k＜0，知-k＞0，∴6-

2

k

＞0，2-6k＞0，
∴S=2-6k+6-

2

k

=8+（-6k）+（-

2

k

）≥8+2

-6k•(- 2 k )

=8+4

3

，
當且僅當-6k=-

2

k

，即k=-

3

3

時取等號，
∴s的最小值為8+4

3

，
此時直線l的方程為y-2=-

3

3

(x-6)，化為一般式可得

3

x+3y-6-6

3

=0

點評：本題考查直線的一般式方程，涉及直線的截距和基本不等式求最值，屬中檔題．