Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．設，若，則λ₁+λ₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：建立直角坐標系，求出三角形各頂點的坐標，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯立方程組，求出O的坐標，利用已知向量間的關系，待定系數法求λ₁和λ₂  的值．
解答：解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2，0），C（-，），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線 m：x=1 上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點（-，），AC的斜率為-，
∴中垂線n的方程為 y-=（x+）．
把直線 m和n 的方程聯立方程組解得△ABC的外心O（1，），
由條件 =λ₁ +λ₂ ，
得（1，）=λ₁（2，0）+λ₂（-，）=（2λ₁-λ₂，λ₂ ），
∴2λ₁-λ₂=1，λ₂=，∴λ₁=，λ₂=，∴λ₁+λ₂ =，
故答案為．
點評：本題考查求兩條直線的交點坐標的方法，三角形外心的性質，向量的坐標表示及向量相等的條件，待定系數法求參數值．