Question

已知函數f（x）=

1，x≤0 2(x-1)2，x＞0

．則函數y=f（x²）-a（a≥0）的零點的個數不可能為（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

分析：由y=f（x²）-a=0得到f（x²）=a（a≥0），然后分別討論a的取值范圍，判斷方程解的個數即可．

解答：解：由y=f（x²）-a=0（a≥0），
得f（x²）=a（a≥0），
若x=0，則f（x²）=f（0）=1=a，解得a=1，
若x≠0，則f（x²）=2（x²-1）²=a，
即（x²-1）²=

a

2

，若a=0，則x²-1=0，解得x=±1，
若a＞0，
則x²-1=±

2a

2

，即x²=1±

2a

2

，
若1-

2a

2

=0，則a=2時，x²=1±

2a

2

=0或2，此時x=0（舍）或x=±1，有2個解．
若1-

2a

2

＜0，即a＞2時，此時x²=1-

2a

2

無解，x²=1+

2a

2

，有2個解．
若1-

2a

2

＞0，即0＜a＜2時，此時x²=1-

2a

2

有2解，x²=1=

2a

2

，有2個解．此時共4個解．
綜上：當a=0時，有2個解；
當a=1時，有5個解；
當0＜a＜2時，有4個解；
當a=2時，有2個解；
當a＞2時，有2個解，
故解得個數可能為2，4，5，
故不可能的是3個解．
故選：C

點評：本題主要考查函數零點個數的判斷，將函數轉化為方程，對a進行分類討論，綜合性較強，運算量較大．