Question

已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，且對任意x∈（0，+∞）恒有

f[f(x)-lnx]=1，若存在x0∈(0，+∞)使不等式f(x0)+f′(x0)-c≤0成立，則c的最小值是(   )

．

A．0

B．1

C．2

D．不存在

Answer 1

分析：不妨取x=1，可得

f[f(1)]=1，

兩邊取對應關系f^-1，可得f（1）=1，對

f[f(x)-lnx]=1，

兩邊取對應關系f^-1，可得f（x）=1+lnx，構造函數g（x）=

1

x

+1+lnx，問題轉化為求其最小值．

解答：解：函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，則函數f（x）必有反函數，記為f^-1（x），
且對任意x∈（0，+∞）恒有

f[f(x)-lnx]=1，

①不妨取x=1，可得

f[f(1)]=1，

②
對②式兩邊取對應關系f^-1，可得f（1）=f^-1（1），由反函數性質知f（1）=1．
對①式兩邊取對應關系f^-1，可得f（x）-lnx=f^-1（1）=f（1）=1，
即函數f（x）的解析式為：f（x）=1+lnx，其導函數f^′（x）=

1

x

．
構造函數g（x）=f（x）+f^′（x）=

1

x

+1+lnx，則g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

．
可知，在x=1處，g^′（x）=0，且在區間（0，1）上g^′（x）＜0，即函數g（x）遞減，
在區間（1，+∞）上，g^′（x）＞0，即函數g（x）遞增，
故在x=1處，函數g（x）取到極小值g（1）=2，也是最小值．

若存在x0∈(0，+∞)使不等式f(x0)+f′(x0)-c≤0成立，

即c大于等于函數g（x）的最小值，
即c≥2，可得c的最小值為2．
故選C．

點評：本題為反函數與導數問題的結合，求出f（x）的解析式是解決問題的關鍵，屬中檔題．