Question

若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，
（Ⅰ）求此幾何體的表面積；
（Ⅱ）求此幾何體的體積．

Answer 1

分析：（I）由幾何體的三視圖，知該幾何體上面是一個長方體，長方體的底面是邊長為4的正方形，高是2，求出其表面積；下面是一個正四棱臺，上底邊長是4的正方形，下底是邊長為8的正方形，根據勾股定理做出斜高，得到側面積，得到正四棱臺5個面的面積，最后求和得到結果．
（II）分別求出幾何體的上、下兩部分的體積后相加即得此幾何體的體積．

解答：解：（I）由三視圖知，幾何體是一個組合體，
上面是一個長方體，長方體的底面是邊長為4的正方形，高是2，
其表面積S_上=16+4×8=48；
下面是一個正四棱臺，上底邊長是4的正方形，下底是邊長為8的正方形，高是2，
∴斜高是=

32+22

=

13

，
∴正四棱臺的側面積是

1

2

（4+8）×

13

×4=24

13

．
下面是一個邊長是8的正方形，其面積為64，
∴幾何體的表面積是48+24

13

+64=112+24

13

（cm²）；
（II）V=V₁+V₂=4×4×2+

1

2

（4²+8²+4×8）×3=144cm³．

點評：本題考查由三視圖求幾何體的體積和表面積，考查由三視圖還原幾何圖形的直觀圖，本題是一個基礎題，這種題目一般不會進行線面關系的證明，而只是用來求體積和面積．