Question

從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖、從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖
已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結論；
（Ⅲ）若E點為PC的中點，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

解：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，
ABCD為正方形，
且PC=2，AB=BC=1（2分）
∴V_P-ABCD=•S_ABCD×PC=•1²•2= （1分）
（II）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD
∴PC⊥BD …（1分）
而BD⊥AC，AC∩AE=A，
∴BD⊥面ACE，…（1分）
而AE?面ACE
∴BD⊥AE （1分）
（III）法一：連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，設θ為二面角O-AE-B的平面角．
注意到B在面ACE上的射影為O
S△_AOE= S△_ACE=××=．
S△_ABE=AB•BE=•1•=，（2分）
∴cosθ==
∴θ=60°
∴二面角D-AE-B是120°（2分）
法二：以C為坐標原點，CD所在直線為x軸建立空間直角坐標系
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而=（-1，0，1），=（0，1，0），
=（1，0，0），=（0，-1，1）（2分）
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為
=（x₁，y₁，z₁），=（x₂，y₂，z₂）
則-x₁+z₁=0，y₁=0
x₂=0，-y₂+z₂=0
令z₁=1，z₂=-1，則
=（ （1，0，1），=（0，-1，-1）（2分）
設二面角D-AE-B的平面角為θ，則|cosθ|===．
二面角D-AE-B為鈍二面角．∴二面角D-AE-B的大小為．（2分）
分析：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，即高PC=2，且底面為正方形，邊長為1，利用錐體體積公式計算即可．
（II）由于PC⊥BD，且BD⊥AC，所以不論點E在何位置，都有BD⊥面ACE，從而都有BD⊥AE．
（III）法一，連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，利用射影面積法求出二面角O-AE-B的平面角后，問題獲解
法二，以C為坐標原點，CD所在直線為x軸建立空間直角坐標系．求出平面ADE和平面ABE的法向量，利用向量的方法求出二面角D-AE-B的大小．
點評：本題考查幾何體的三視圖及直觀圖，線面垂直關系的判定，二面角的大小度量．考查考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．