Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)=x²+bx+c(b、c∈R),對于任意α、β恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.

(1)求證:b+c=-1且c≥3;

(2)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8,求b、c的值.

Answer 1

(1)證明：由題意可得當(dāng)x∈［-1,1］時,f(x)≥0恒成立;當(dāng)x∈［1,3］時,f(x)≤0恒成立,

    所以f(1)=0,且f(3)≤0(9+3b+c≤0).

    所以b+c=-1,2c≥(9+3b+c)+2c=6,即c≥3.

(2)解：f(x)=x²+bx-1-b,

    函數(shù)f(sinα)的最大值為8當(dāng)x∈［-1,1］時,函數(shù)f(x)的最大值為8.

    因?yàn)閒(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減,所以f(-1)=8.所以b=-4.代入解得c=3.