Question

已知對任意平面向量=（x，y），我們把繞其起點A沿逆時針方向旋轉θ角得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），稱為逆旋θ角到．
（1）把向量=（2，-1）逆旋角到，試求向量．
（2）設平面內函數y=f （x）圖象上的每一點M，把逆旋角到后（O為坐標原點），得到的N點的軌跡是曲線x²-y²=3，當函數F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個不同的零點時，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，=（2cos+sin，2sin-cos）=（）；
（2）設M（x，y），N（x₀，y₀），則x₀²-y₀²=3
∵逆旋角到，∴（xcos-ysin，xsin+ycos）=（x₀，y₀），
∴x₀=，y₀=，
∵x₀²-y₀²=3，∴可得y=-，即f（x）=-
函數F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個不同的零點，等價于=x|x-1|-2x（x≠0）有三個不同實數解．
設g（x）=x|x-1|-2x=，圖象如圖
∵=x|x-1|-2x（x≠0）有三個不同實數解
∴，且≠0
∴，且λ≠0．
分析：（1）利用新定義，結合向量=（2，-1）逆旋角到，可求向量；
（2）由題意函數F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個不同的零點，等價于=x|x-1|-2x（x≠0）有三個不同實數解，結合函數的圖象可得結論．
點評：本題考查新定義，考查數形結合的數學思想，考查學生的計算能力，屬于基礎題．