Question

已知對任意平面向量

AB

=（x，y），我們把

AB

繞其起點A沿逆時針方向旋轉θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），稱為

AB

逆旋θ角到

AP

．
（1）把向量

a

=（2，-1）逆旋

π

3

角到

b

，試求向量

b

．
（2）設平面內函數y=f （x）圖象上的每一點M，把

OM

逆旋

π

4

角到

ON

后（O為坐標原點），得到的N點的軌跡是曲線x²-y²=3，當函數F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個不同的零點時，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，結合向量

a

=（2，-1）逆旋

π

3

角到

b

，可求向量

b

；
（2）由題意函數F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個不同的零點，等價于-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三個不同實數解，結合函數的圖象可得結論．

解答：解：（1）由題意，

b

=（2cos

π

3

+sin

π

3

，2sin

π

3

-cos

π

3

）=（

2+ 3

2

，

2 3 -1

2

）；
（2）設M（x，y），N（x₀，y₀），則x₀²-y₀²=3
∵

OM

逆旋

π

4

角到

ON

，∴（xcos

π

4

-ysin

π

4

，xsin

π

4

+ycos

π

4

）=（x₀，y₀），
∴x₀=

2

2

(x-y)，y₀=

2

2

(x+y)，
∵x₀²-y₀²=3，∴可得y=-

3

2x

，即f（x）=-

3

2x

函數F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個不同的零點，等價于-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三個不同實數解．
設g（x）=x|x-1|-2x=

(x- 3 2 )2- 9 4 ，x∈[1，+∞) -(x+ 1 2 )2+ 1 4 ，x∈(-∞，0)∪(0，1)

，圖象如圖
∵-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三個不同實數解
∴-

9

4

＜-

3λ

2

＜

1

4

，且-

3λ

2

≠0
∴-

1

6

＜λ＜

3

2

，且λ≠0．

點評：本題考查新定義，考查數形結合的數學思想，考查學生的計算能力，屬于基礎題．