Question

如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點.
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成的角；
（Ⅲ）求點到平面的距離.

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）直線與平面所成的角為
（Ⅲ）點到平面的距離等于

（Ⅰ）設與交點為，延長交的延長線于點，
則，∴，∴，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴
又∵底面，∴，∴平面，
∵平面，∴平面平面…………………………………（4分）
（Ⅱ）連結，過點作于點，
則由（Ⅰ）知平面平面，
且是交線，根據面面垂直的性質，
得平面，從而即
為直線與平面所成的角.
在中，，
在中，
. 所以有，
即直線與平面所成的角為…………………………………（8分）
（Ⅲ）由于，所以可知點到平面的距離等于點到平面的距離的，即. 在中，，
從而點到平面的距離等于………………………………………………（12分）
解法二：如圖所示，以點為坐標原點，
直線分別為軸，
建立空間直角坐標系，
則相關點的坐標為
，，，.
（Ⅰ）由于，，         
，         
所以，
，
所以，
而，所以平面，∵平面，
∴平面平面……………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）設是平面的一個法向量，則，
由于，，所以有
，
令，則，即，
再設直線與平面所成的角為，而，
所以，
∴，因此直線與平面所成的角為………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一個法向量，而，
所以點到平面的距離為