Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有給出下列命題：
（1）f（2）=0且T=4是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
（2）直線x=4是函數(shù)y=f（x）的一條對(duì)稱軸；
（3）函數(shù)y=f（x）在[-6，-4]上是增函數(shù)；
（4）函數(shù)y=f（x）在[-6，6]上有四個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是     （填上你認(rèn)為正確的所有序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進(jìn)而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有，我們易得函數(shù)在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞增，由此我們畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，然后對(duì)題目中的四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行分析，即可得到答案．
解答：解：∵對(duì)任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
當(dāng)x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)
∴f（-2）=f（2）=0，
又由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有，
∴函數(shù)在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞增
故函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖如下圖所示：

由圖可知：（1）正確，（2）正確，（3）錯(cuò)誤，（4）正確
故答案：（1）（2）（4）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點(diǎn)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)已知，判斷函數(shù)的性質(zhì)，并畫出函數(shù)的草圖，結(jié)合草圖分析題目中相關(guān)結(jié)論的正誤．