如圖，四棱錐
中,
面
，
、
分別為
、
的中點，
，
.
（1）證明：
∥面
；
（2）求面
與面所成銳角的余弦值.
(1)見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）(1) 利用三角形中位線定理，得出
∥ .
（2）利用平幾何知識，可得一些線段的長度及
，進一步以
為
軸建立坐標系，
得到
，
確定面與面的法向量
、
：
由
，可得令
；
由又
，可得令
，進一步得到.
本題首先探究幾何體中的線面、線線垂直關系，創造建立空間直角坐標系的條件，應用“向量法”，確定二面角的余弦值.
解答本題的關鍵是確定“垂直關系”，這也是難點所在，平時學習中，應特別注意轉化意識的培養，能從“非規范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標系的條件.
試題解析：(1)因為、分別為、的中點，
所以∥ 2分
因為
面，
面
所以∥面 4分
（2）因為
所以
又因為為的中點
所以
所以
得
，即 6分
因為，所以
分別以為軸建立坐標系
所以
則
8分
設、分別是面與面的法向量
則，令
又，令 11分
所以 12分
考點：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義，空間向量的應用.
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陽光同學一線名師全優好卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿直線BD將△BCD翻折成△BC
D，使得平面BCD
平面ABD．
(1)求證：C'D平面ABD；
(2)求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,平面
平面
,
是以
為斜邊的等腰直角三角形,
分別為
,
,的中點,
,
.
(1)設
是
的中點,證明:
平面
;
(2)證明:在
內存在一點
,使
平面,并求點到
,
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,在四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=
AB,E是SA的中點.
(1)求證:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直線SA與平面BED所成角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,四棱錐S-ABCD中,ABCD為矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=a(a>0),AB=2AD,SD=
AD,E為CD上一點,且CE=3DE.
(1)求證:AE⊥平面SBD.
(2)M,N分別為線段SB,CD上的點,是否存在M,N,使MN⊥CD且MN⊥SB,若存在,確定M,N的位置;若不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O為AC與BD的交點，E為PB上任意一點．
(1)證明：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小為45°，求PD∶AD的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝
，F為PC的中點，AF⊥PB.
(1)求PA的長；
(2)求二面角B-AF-D的正弦值．
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中，已知
，
，
．
與
夾角的余弦值；
平面角的余弦值．
中，底面
是正方形，側棱
⊥底面
，
是
的中點，作
交
于點
．
平面
；
平面
．