Question

（2012•上饒一模）下面四個圖象中，有一個是函數f(x)=

1

3

x3+ax2+(a2-1)x+

1

3

(a∈R，a≠0)的導函數y=f′（x）的圖象，則f（-1）等于（　　）

• A．-1
• B．-

  1

  3

• C．1
• D．-

  1

  3

  或

  5

  3

Answer 1

分析：可先求f′（x）后對四個選項進行排除，再結合題意得到選項．

解答：解：∵f′（x）=x²+2ax+a²-1，其二次項系數為1＞0，
故導函數y=f′（x）的圖象開口方向向上，可排除B，D，
又導函數y=f′（x）的對稱軸x=-a≠0，
∴可排除A，
故導函數y=f′（x）的圖象為C，
∴f′（0）=a²-1=0，對稱軸x=-a＞0
∴a=-1．
∴f（x）=

1

3

x³-x²+

1

3

，
∴f（-1）=-1．
故選A．

點評：本題考查函數的圖象，著重考查導數的運算，突出考查排除法在選擇題中的應用，考查數形結合的思想與分析轉化的思想，屬于中檔題．