Question

若不等式x²+px+1＞2x+p對滿足|p|≤2的所有實數p都成立，則x的取值范圍是

（-∞，-1）∪（3，+∞）

．

Answer 1

分析：將原不等式移項，得出x²+px+1-2x-p＞0 整理（x-1）p+（x-1）^{2 _＞0}，將不等式的左邊看作關于p的一次函數（即p為自變量，x為待定常數），由已知，須f（p）＞0在[-2，2]上恒成立，然后根據|p|≤2可得函數的端點的縱坐標都是正數，從而可得出f（-2）＞0，f（2）＞0，解出即可．

解答：解：將原不等式移向得x²+px+1-2x-p＞0，左端看作p的一次函數，f（p）=（x-1）p+（x-1）²，由已知，須f（p）＞0在[-2，2]上恒成立，
由一次函數的單調性，只需
 

f(-2)=(x-1)(x-3)＞0 f(2)=(x-1)(x+1)＞0

即可．
∴

x＜-1或x＞3 x＜-1或x＞1

，
解得：x＜-1或x＞3．
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）

點評：本題考查了一元二次不等式的知識，在解答本題時運用了函數思想，采用了變更主元的策略．函數思想是數學求解中常用的一種方法．