精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設橢圓C： $數(shù)學公式$ （a，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若P 是橢圓上的一點， $數(shù)學公式$ ，離心率 $數(shù)學公式$ ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點， $數(shù)學公式$ ，求點P的坐標；
（3）設過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，離心率 $\text{[math]}$
∴2a=4，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a=2，c= $\text{[math]}$
∴b²=1
∴橢圓C的方程為 $\text{[math]}$
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）+（-y）（-y）
=x²+y²-3
= $\text{[math]}$ -3
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵x＞0
∴x=1
∵y＞0
∴y= $\text{[math]}$ ，故P（1， $\text{[math]}$ ）
（3）顯然直線x=0不滿足題設，可設直線y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立 $\text{[math]}$ 整理可得，（ $\text{[math]}$ ）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 可得，k $\text{[math]}$ 或k $\text{[math]}$
∵∠AOB為銳角
∴ $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$
∴-2＜k＜2
綜上可得， $\text{[math]}$ 或-2 $\text{[math]}$
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，結合橢圓定義可求a，由離心率 $\text{[math]}$ 可求c，然后求出b即可求解橢圓C的方程
（2）由（1）的條件先表示 $\text{[math]}$ ，然后結合橢圓方程及二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（3）由題意可設直線y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程可得x₁+x₂，x₁x₂，然后可求
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2），由 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ＞0可求k的范圍
點評：本題主要考查了由橢圓性質(zhì)求解橢圓的方程，向量的數(shù)量積的坐標表示，直線與橢圓相交關系的應用，方程的根與系數(shù)關系的應用，屬于圓錐曲線的綜合應用．

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