Question

【題目】設數列{an}，a1=1，an+1= + ，數列{bn}，bn=2n﹣1an ．
（1）求證：數列{bn}為等差數列，并求出{bn}的通項公式；
（2）數列{an}的前n項和為Sn ， 求Sn；
（3）正數數列{dn}滿足 = ．設數列{dn}的前n項和為Dn ， 求不超過D100的最大整數的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由 ，得 ．

又 ，

所以bn+1=bn+1，

又b1=a1=1，

所以數列{bn}是以1為首項，1為公差的等差數列．bn=n

（2）解：∵

所以 ①，

，②

由①﹣②，

得

所以 ．

（3）解：

，

所以 ，

所以，不超過D100的最大整數為100

【解析】（1）由等差數列的定義和數列的遞推公式即可證明，（2）根據錯位相減法即可求出數列{an}的前n項和為Sn ， （3）利用裂項求和，即可求出不超過D100的最大整數的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等差數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通項公式：或；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．