Question

[選修4-4：坐標系與參數方程]
已知圓C的極坐標方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=1+ 1 5 t y=a+ 2 5 t

（t為參數）．若直線l與圓C相交于P，Q兩點，且PQ=

4 5

5

．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程，并求出圓心坐標和半徑；
（Ⅱ）求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把圓的極坐標方程化為直角坐標方程，根據圓的標準方程求出圓心和半徑．
（Ⅱ）把直線的參數方程化為直角坐標方程，由弦長PQ的值，利用弦長公式求得弦心距d，再由點到直線的距離公式求得 d，再根據這兩個值d的值相等，解方程求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）圓C的極坐標方程是ρ=2cosθ，即 ρ²=2ρcosθ，即 x²+y²=2x，
即 （x-1）²+y²=1，表示以C（1，0）為圓心，半徑等于1的圓．
（Ⅱ）由

x=1+ 1 5 t y=a+ 2 5 t

（t為參數），可得 2x-y+a-2=0．
由弦長PQ=

4 5

5

，可得弦心距d=

r2-( PQ 2 )2

=

1

5

．
再由點到直線的距離公式可得 d=

|2-0+a-2|

5

，
∴

|2-0+a-2|

5

=

1

5

，解得 a=1，或 a=-1．

點評：本題主要考查把極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，
弦長公式的應用，屬于基礎題．