Question

20．若函數f（x）=x³+3ax-1在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，則實數a=1；
當a≤0時，若方程f（x）=15有且只有一個實根，則實數a的取值范圍為-$\root{3}{16}$＜a≤0．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，因為曲線在x=1的切線與y=6x+6平行，得到切線與y=6x+6的斜率相等，由y=6x+6的斜率為6，得到切線的斜率也為6，然后把x=1代入導函數，令求出的函數值等于6列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³+3ax-1，得到f′（x）=3x²+3a，
因為曲線在x=1處的切線與y=6x+6平行，
而y=6x+6的斜率為6，
所以f′（1）=6，即3+3a=6，解得a=1；
（2）令g（x）=x³+3ax-16，
g′（x）=3x²+3a=3（x²+a），
a=0時，g′（x）≥0，g（x）在R遞增，
而x→-∞時，g（x）→-∞，x→+∞時，g（x）→+∞，
故函數g（x）有且只有一個零點，
即方程f（x）=15有且只有一個實根，
a＜0時，令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{-a}$或x＜-$\sqrt{-a}$，
令g′（x）＜0，解得：-$\sqrt{-a}$＜x＜$\sqrt{-a}$，
則g（x）在（-∞，-$\sqrt{-a}$）遞增，在（-$\sqrt{-a}$，$\sqrt{-a}$）遞減，在（$\sqrt{-a}$，+∞）遞增，
故g（x）極大值=g（-$\sqrt{a}$）=a$\sqrt{-a}$+3a$\sqrt{-a}$-16＜0，
解得：a＞-$\root{3}{16}$，
綜上：-$\root{3}{16}$＜a≤0，
故答案為：1，-$\root{3}{16}$＜a≤0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．