Question

動(dòng)圓M過定點(diǎn)A（-，0），且與定圓A´：（x-）²+y²=12相切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F，求•的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，可得|MA´|+|MA|=2＞2，利用橢圓定義，即可求出動(dòng)圓圓心M的軌跡的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理即向量數(shù)量積公式，即可求得•的取值范圍．
解答：解：（1）A´（，0），依題意動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，
∴|MA´|+|MA|=2＞2             …（3分）
∴點(diǎn)M的軌跡是以A´、A為焦點(diǎn)，2為長(zhǎng)軸上的橢圓，
∵a=，c=
∴b²=1．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為        …（5分）
（2）解：設(shè)l的方程為x=k（y-2）代入，消去x得：（k²+3）y²-4k²y+4k²-3=0
由△＞0得16k⁴-（4k²-3）（k²+3）＞0，∴0≤k²＜1       …（7分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則y₁+y₂=，y₁y₂=
又=（x₁，y₁-2），=（x₂，y₂-2）
∴•=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=k（y₁-2）•k （y₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）
=（1+k²）（-2×+4）=9（1-）              …（10分）
∵0≤k²＜1，∴3≤k²+3＜4
∴•∈[3，）         …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．