Question

某客運公司買了每輛2a萬元的大客車投入運營，根據調查得知，每輛客車每年客運收入約為a萬元，且每輛客車第n年的油料費，維修費及其他各種管理費用總和P（n）（萬元）與年數n成正比，又知第3年每輛客車上述費用是該年客運收入的48%．
（1）寫出每輛客車運營的總利潤y（萬元）與n的函數表達式；
（2）每輛客車運營多少年可使其運營的年平均利潤最大？

Answer 1

分析：（1）客車第n年的各種費用總和P（n）與年數n成正比，設P（n）=kn，由第3年費用是該年客運收入的48%知k=0.16a，由此能求出運營的總利潤．
（2）

y

n

=-0.08an-

2a

n

+0.92a≤-2

0.08an• 2a n

+0.92a=-0.8a+0.92a=0.12a，由此能求出每輛客車運營多少年可使其運營的年平均利潤最大．

解答：解：（1）∵客車第n年的各種費用總和P（n）與年數n成正比，
設P（n）=kn，k為待定常數，
∵第3年費用是該年客運收入的48%，
∴0.48a=3k，
∴k=0.16a，
∴P（n）=0.16an，
∴運營的總利潤y=an-0.16a（1+2+…+n）-2a=-0.08an²+0.92an-2a，n∈N
（2）

y

n

=-0.08an-

2a

n

+0.92a≤-2

0.08an• 2a n

+0.92a=-0.8a+0.92a=0.12a，
當且僅當0.08an=

2a

n

時成立，n∈N，
∴n²=25，
∴n=5，
∴運營5年可使其運營的年平均利潤最大且最大值為0.12a．

點評：本題考查函數在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要注意均值定理的靈活運用．