Question

如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB="4," BC="CD=2, " ="2, " E、分別是棱AD、A的中點.   

（1）     設F是棱AB的中點,證明：直線E//平面FC；
（2）     證明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

Answer 1

19.證明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，
連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，
又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，
所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，所以直線EE//平面FCC.
（2）連接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC₁⊥AC,因為底面ABCD為等腰梯形，AB="4," BC=2,
F是棱AB的中點,所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，
,△ACF為等腰三角形，且
所以AC⊥BC, 又因為BC與CC₁都在平面BB₁C₁C內且交于點C,  所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

略