Question

（2012•三明模擬）已知數列{a_n}滿足an+1=

1

2

an+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁≠2，求證數列{a_n-2}是等比數列；
（Ⅱ）若數列{a_n}是等差數列，bn=an•(

1

2

)n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1=

1

2

an+1得an+1-2=

1

2

(an-2)，進而可得

an+1-2

an-2

=

1

2

(n≥1，n∈N)，即可證得結論；
（Ⅱ）由an+1=

1

2

an+1，及an=

1

2

an-1+1(n≥2)，兩式相減，得an+1-an=

1

2

(an-an-1)，利用{a_n}是等差數列，可得d=0，從而可得數列的通項，進而可求數列的和．

解答：（Ⅰ）證明：由an+1=

1

2

an+1得an+1-2=

1

2

(an-2)，
∵a₁≠2，∴a₁-2≠0，∴

an+1-2

an-2

=

1

2

(n≥1，n∈N)
所以{a_n-2}是以a₁-2為首項，

1

2

為公比的等比數列．------------------------------（5分）
（Ⅱ）解：由an+1=

1

2

an+1，及an=

1

2

an-1+1(n≥2)，
兩式相減，得an+1-an=

1

2

(an-an-1)．
又{a_n}是等差數列，于是a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=d，
所以d=

1

2

d，解得d=0，
于是a_n=a₁，代入an+1=

1

2

an+1得a₁=2，于是a_n=2（n∈N^*）．---------------（9分）
∴bn=an(

1

2

)n=(

1

2

)n-1，
于是Sn=

1×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=2×(1-(

1

2

)n)=2-(

1

2

)n-1．-----------------------（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的求和，確定數列的通項是關鍵．