Question

判斷下列各命題正確與否：
（1）若

a

≠0，

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

；
（2）若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

≠

c

當且僅當

a

=0時成立；
（3）（

a

•

b

）

c

=

a

（

b

•

c

）對任意向量

a

、

b

、

c

都成立；
（4）對任一向量

a

，有

a

²=|

a

|²．

Answer 1

（1）

a

•

b

=

a

•

c

，∴|

a

||

b

|cosα=|

a

||

c

|cosβ（其中α、β分別為

a

與

b

，

a

與

c

的夾角）．∵|

a

|≠0，∴|

b

|cosα=|

c

|cosβ．
∵cosα與cosβ不一定相等，∴|

b

|與|

c

|不一定相等．∴

b

與

c

也不一定相等．∴（1）不正確．
（2）若

a

•

b

=

a

•

c

，則|

a

||

b

|cosα=|

a

||

c

|cosβ（α、β為

a

與

b

，

a

與

c

的夾角）．
∴|

a

|（|

b

|cosα-|

c

|cosβ）=0．
∴|

a

|=0或|

b

|cosα=|

c

|cosβ．
當

b

≠

c

時，|

b

|cosα與|

c

|cosβ可能相等．
∴（2）不正確．
（3）（

a

•

b

）

c

=（|

a

||

b

|cosα）

c

，

a

（

b

•

c

）=

a

|

b

||

c

|cosθ（其中α、θ分別為

a

與

b

，

b

與

c

的夾角）．
（

a

•

b

）

c

是與

c

共線的向量，

a

（

b

•

c

）是與

a

共線的向量．
∴（3）不正確．（4）正確．